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リプシッツ公式(%o1)はオイラーのコタンジェント公式から導くことができます。

(%i1) lip:sum((z-n)^(-k),n,-inf,inf)=(-2*%pi*%i)^k/(k-1)!*sum(n^(k-1)*q^n,n,1,inf);
$$ ag{%o1} sum_{n=-infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^{k}}}=frac{left(-i ight)^{k},2^{k},pi^{k},sum_{n=1}^{infty }{n^{k-1},q^{n}}}{left(k-1 ight)!} $$

オイラーのコタンジェント公式は(%o2)です。
(%i2) EC:%pi*cot(%pi*z)=sum(1/(z-n),n,minf,inf);
$$ ag{%o2} pi,cot left(pi,z ight)=sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{z-n}} $$

この左辺を変形します。まずcot()を指数関数で表します。
(%i3) lhs(%);
$$ ag{%o3} pi,cot left(pi,z ight) $$
(%i4) %,exponentialize:true;
$$ ag{%o4} frac{i,pi,left(e^{i,pi,z}+e^ {- i,pi,z } ight)}{e^{i,pi,z}-e^ {- i,pi,z }} $$

これを整理します。
(%i5) %,ratsimp;
$$ ag{%o5} frac{i,pi,e^{2,i,pi,z}+i,pi}{e^{2,i,pi,z}-1} $$

( q=e^{2,i,pi,z} ) としてこの式をqで表します。
(%i6) %,exp(2*%pi*%i*z)=q;
$$ ag{%o6} frac{i,pi,q+i,pi}{q-1} $$

この式をqの冪級数で表すためにpowerseries()という関数を使います。
(%i7) niceindices(powerseries(%,q,0)),niceindicespref:[n];
$$ ag{%o7} i,pi-2,i,pi,sum_{n=0}^{infty }{q^{n}} $$

最初のコタンジェント公式の右辺と合わせると(%o8)が成り立つことがわかります。
(%i8) d0:%=rhs(EC);
$$ ag{%o8} i,pi-2,i,pi,sum_{n=0}^{infty }{q^{n}}=sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{z-n}} $$

左辺はqの式、右辺はzの式です。この両辺をzで微分していきます。qはzに依存していて、関係式(%o10)で結ばれています。
(%i9) depends(q,z)$
(%i10) C:q=exp(2*%pi*%i*z);
$$ ag{%o10} q=e^{2,i,pi,z} $$

従って合成関数の微分の公式(%o11)を使うことができます。
(%i11) diff(f(q),q)*diff(q,z)=diff(g(z),z);
$$ ag{%o11} frac{d}{d,z},q,left(frac{d}{d,q},fleft(q ight) ight)=frac{d}{d,z},gleft(z ight) $$

qのzでの微分が必要ですから計算しておきます。
(%i12) diff(exp(2*%pi*%i*z),z);
$$ ag{%o12} 2,i,pi,e^{2,i,pi,z} $$

この結果をqで表すと、
(%i13) DC:%,exp(2*%pi*%i*z)=q;

となります。
$$ ag{%o13} 2,i,pi,q $$

では(%o8)で求めた式(%o14)を合成関数の微分を使って計算します。
(%i14) d0;
$$ ag{%o14} i,pi-2,i,pi,sum_{n=0}^{infty }{q^{n}}=sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{z-n}} $$
(%i15) intosum(diff(lhs(%),q)*DC)=diff(rhs(%),z);
$$ ag{%o15} sum_{n=0}^{infty }{4,pi^2,n,q^{n}}=-sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^2}} $$

もう一度微分してみましょう。
(%i16) intosum(diff(lhs(%),q)*DC)=diff(rhs(%),z);
$$ ag{%o16} sum_{n=0}^{infty }{8,i,pi^3,n^2,q^{n}}=2,sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^3}} $$

もう一度。
(%i17) intosum(diff(lhs(%),q)*DC)=diff(rhs(%),z);
$$ ag{%o17} sum_{n=0}^{infty }{left(-16,pi^4,n^3,q^{n} ight)}=-6,sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^4}} $$

さらにもう一度。
(%i18) intosum(diff(lhs(%),q)*DC)=diff(rhs(%),z);
$$ ag{%o18} sum_{n=0}^{infty }{left(-32,i,pi^5,n^4,q^{n} ight)}=24,sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^5}} $$

こんな風にどんどん式が生まれてきます。これらは全てリプシッツの公式でk=1,2,3,4,5,6,,,などと置いた式と一致します。
(%i19) intosum(diff(lhs(%),q)*DC)=diff(rhs(%),z);
$$ ag{%o19} sum_{n=0}^{infty }{64,pi^6,n^5,q^{n}}=-120,sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^6}} $$

この式をちょっと見やすく変形してみます。
(%i20) factor(%)/(-120);
$$ ag{%o20} -frac{8,pi^6,sum_{n=0}^{infty }{n^5,q^{n}}}{15}=sum_{n= -infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^6}} $$

リプシッツの公式でk=6と置くと、
(%i21) lip,k:6;
$$ ag{%o21} sum_{n=-infty }^{infty }{frac{1}{left(z-n ight)^6}}=-frac{8,pi^6,sum_{n=1}^{infty }{n^5,q^{n}}}{15} $$

ちゃんと一致しました。

ここまでくれば帰納法で証明するのも自明にできることでしょう。